Que son os números?

Imos transitar hoxe por derroteiros algo máis abstractos que os dos artigos previos para tratar de dar resposta a unha pregunta tan sinxela como: que son os números? Por inocente que pareza, esta cuestión non é para nada trivial, e máis dun estudoso podería incluso dubidar de que teña moito sentido… Sexa como sexa, semella evidente que os números son, cando menos, algo que empregamos constantemente, tanto para contar ovellas antes de durmir coma para asegurarme de que as moedas que levo no peto chegan para pagar a seguinte cervexa que teño pensado pedir.

Dende unha perspectiva máis académica, os números son un dos obxectos centrais de toda a matemática moderna (quizais o obxecto central), e dende a escola aprendemos a traballar con eles: sumar, multiplicar, … Así pois, deberiamos saber que son, non? Será interesante en primeiro lugar observar que nos exemplos previamente expostos sempre estabamos facendo referencia a contar (xa foran moedas ou ovellas), polo que realmente estamos falando dun tipo especial de números coñecido como o dos números naturais. Os números naturais son os que serven para contar, e non é difícil convencerse de que poden ser entendidos a partir dun proceso de abstracción da realidade: dez é o concepto co que designamos cantas entidades separadas hai nos dedos das miñas mans ou nos dos meus pés. Ou cantas persoas hai na cancha de baloncesto durante un partido normal (descontando árbitros!). E dá igual a que tipo de obxectos nos esteamos a referir, dez é un concepto que xorde de abstraer todos eses casos particulares. Agora, quizais sexa un pouco máis complicado dicir que significa -1, non si? Xa non digamos o número pi… Atribúese a Leopold Kronecker (1823-1891) unha frase que reflicte moi ben este feito de que os números naturais poden ser entendidos de xeito natural (valla a redundancia), pero a partir de aí comezamos a perdernos:

Deus creou os números naturais, o resto é cousa do home

Para lidiar cun caso concreto, permitídeme que me centre nos números negativos durante as seguintes liñas. Que son -1, -2, -3 ou -1204? A resposta máis sensata sería dicir que non hai unha resposta única: podemos visualizalos de moitas maneiras (a típica é vendo -1 como un símbolo para deber un, de modo que se teño 3 e debo 1 quedo con dous, que vén a ser 3-1=2). De feito, cunhas ferramentas matemáticas non tan potentes (pero nas que por desgracia sería demasiado complicado entrar aquí a un nivel divulgativo) podemos fabricar outras tantas construcións totalmente rigorosas. Todas elas baseadas nos números naturais. E, o que é máis importante, todas elas cumprindo as típicas leis que aprendemos na escola que cumpren os números naturais:

Asociativa da suma: (a+b)+c = a+(b+c)	Asociativa do produto: a·(b·c) = (a·b)·c
Conmutativa da suma: a+b = b+a	Conmutativa do produto: a·b = b·a
Distributiva: a·(b+c) = a·b+a·c

De feito, en certo sentido a maneira correcta de pensar na construción dos números negativos é a inversa: sabemos que os números naturais cumpren as propiedades previas, e buscamos amplialos de xeito que os novos números (negativos no noso caso) cumpran tamén esas propiedades. Iso é o que obriga a que, por exemplo, (-1)·(-1) = 1, algo do que seguro non rematastes demasiado convencidos durante a escola (e eu tampouco tratei de convencervos agora, simplemente intentei destacar que a razón diso é que queremos que os nosos novos números cumpran as propiedades que nos parece razoable que os números deben posuír). A maneira concreta en que ampliemos, é dicir, como definamos os novos números, vén sendo irrelevante: o importante é que se poida facer dalgún xeito e que o novo sistema que obteñamos cumpra as vellas propiedades. En poucas palabras, a pregunta non é que son os números, senón como se comportan. E por que isto é así? Esencialmente porque a ampliación do noso sistema de números se fai para poder resolver novos problemas, e para iso o único que nos interesa é como se comportan as novas ferramentas que deseñamos. Por exemplo, que sentido ten restar 3 a 2? Isto, que é un problema irresoluble se só temos números naturais, convírtese nun exercicio sinxelo se incluímos os negativos: 2-3 = -1.

Así que, basicamente, máis aló dos números naturais todo é simplemente un afán da humanidade por ter ferramentas máis e máis completas. Todo isto que vimos de falar para os números negativos pode seguir sendo ampliado, incluíndo monstros coma as fraccións, os números decimais infinitos (os chamados irracionais) e incluso cousas tan raras coma os números imaxinarios, nos que se inclúe algo que chamamos i e que cumpre que ao elevalo ao cadrado obtense -1! O proceso é o mesmo: buscar un sistema máis completo que satisfaga as vellas regras do xogo. Para rematar, deixarei simplemente un comentario final que nos traia de volta ao mundo real dende este particular mundo de números e ideas abstractas. Se ben vimos de afirmar que os números se crean como ferramentas técnicas para resolver novos problemas, estes problemas non son sempre puramente teóricos e matemáticos, coma restar 3 a 2. Por exemplo, as fraccións son útiles para dividir tartas en anacos iguais, coma seguramente se cansaron de repetir os vosos antigos profesores (probablemente o de repartir tartas nos temas de fraccións sexa unha das metáforas máis empregadas na historia da educación, non credes?). O curioso é que existen casos de sistemas numéricos coma o dos números imaxinarios que aparecen historicamente por razóns teóricas (os matemáticos eran moi teimudos e querían ter si ou si un número que elevado ao cadrado dera -1) e que logo resultan claves para describir problemas prácticos do mundo que nos rodea. De feito, hoxe en día a mecánica cuántica parece imposible de formular sen estes números imaxinarios… Será que o mundo moldea as nosas ideas matemáticas para que se axusten a el ou será ao revés, e nós facemos as nosas teorías do mundo empregando todas as ferramentas das que dispoñemos pero que nada teñen que ver co que está a pasar aí fóra? Aconsello pedir outra ronda antes de comezar co debate…

Advertisement

O gato de Schrödinger vive?

Seguro que máis dunha vez este popular gato chegou aos vosos oídos. Seguro que máis dunha vez vos dixeron que morreu e, da mesma maneira, seguro que as mesmas veces vos dixeron que non o fixo. Non podemos dicir aquí se o fixo ou non, porque o peculiar felino non é máis que un experimento mental proposto por Erwin Schrödinger, pero o que si que podemos é presentalo e traer con el o dilema que suscita.

Antes de comezar a falar deste animal, debemos facer un conciso resumo de certas implicacións da mecánica cuántica, posto que da mesma depende a súa vida. Esta teoría científica data de principios do século XX, momento de gran auxe para a física posto que se produce un brutal cambio do paradigma establecido. Ata o momento do nacemento da cuántica, o mundo era un lugar que a física dicía determinista. Isto quere dicir que todo estaba escrito; se coñecésemos tódalas variables posibles, saberíamos o destino de toda partícula do Universo, simplemente sería moi complexo de calcular.

Pero entón xorden certos fenómenos de difícil explicación mediante as disciplinas clásicas da física. O corpo negro é un punto de inflexión. Un obxecto, ao cal lle adicaremos outra entrada, que absorbe toda a enerxía radiante que sobre el incide sen reflectir nada, ata que el mesmo se torna en emisor, algo así como cando quentamos un ferro o suficiente e comeza a emitir luz. Segundo a física do momento, a enerxía emitida por este obxecto era infinita, feito que non se corresponde coa experiencia no máis mínimo. Pero entón chega Planck e cuantiza a enerxía. Simplemente empregando o suposto de que a enerxía emitida polo corpo negro non pode tomar calquera valor, obtén unha curva de emisión que se adecúa a realidade case perfectamente. Aquí o mundo cambiou. Xa nada sería igual.

Digamos simplemente que dende ese momento se suceden unha serie de feitos que, tomando como base a hipótese de Planck, dan explicación a uns fenómenos inexplicables. Da evolución da cuántica teremos tempo de falar en futuras entradas. Este proceso culmina cunha nova teoría. Unha teoría onde nada é o que parece. Un Universo non determinista. Pois ben, Unha vez madura a teoría cuántica, chegamos a unha mecánica ondulatoria desenvolta por Schrödinger. Baixo este novo paradigma non determinista, as partículas poden comportarse a veces como corpúsculos e a veces como ondas, de maneira que non teñen propiedades ben definidas. Para imaxinarnos isto pensemos por exemplo na posición. Cal é a posición dunha onda? É un concepto que carece de sentido. Neste contexto, a onda asociada a cada partícula representa, en cada punto, a probabilidade de atopala ao medir. Os estados das partículas parecen non estar ben definidos.

Case parece que a cuántica a inventase un galego.

Pero non nos desviemos do tema. Gatos! De gatos ía a cousa, pero como encaixan os gatos neste novo enfoque da física? Ben, non dilatemos máis a explicación. Acabamos de dicir que baixo a perspectiva da cuántica non podemos coñecer exactamente as propiedades dunha partícula. Este feito suscita varias interpretacións. É o Universo determinista pero nos non podemos acceder a toda a información? A probabilidade descrita pola cuántica é toda a información física dispoñible? Aínda a día de hoxe non hai consenso nestas cuestións, pero unha interpretación foi, e segue sendo, a máis aceptada. A interpretación de Copenhaguen Para explicar esta contraintuitiva forma de entender a cuántica, Schrödinger recorreu no ano 1935 ao seu famoso gato.

Para entender esta idea fagamos o seguinte experimento mental. Podémolo facer na práctica, pero se lle tedes un mínimo de cariño ao voso gato non volo recomendo. Imaxinemos unha caixa e metamos dentro dela ao gato. Introduzamos así mesmo un frasco ben cerrado dun potente veleno. Agora entra a cuántica en acción. O último ingrediente é unha partícula radioactiva cunha probabilidade do 50% de desintegrarse. Debemos colocar, ademais, o frasco de veleno nun dispositivo que reaccione ante a desintegración da partícula de maneira que se esta se desintegra, o frasco se rompa e mate ao gato.

Temos, pois, unha probabilidade do 50% de que ao abrir a caixa a partícula se desintegrase e o gato este con Schrödinger. Pois ben, en base a interpretación de Copenhaguen, a situación do gato non está ben definida. A partícula está nun estado que é a superposición da realidade na que se desintegrou, e aquela na que non o fixo. Isto implica que o gato está nun estado que é a superposición dos estados “vivo” e “morto” na mesma medida.

Entón que pasa co gato? Como pode estar vivo e morto ao mesmo tempo? Se seguimos esta interpretación da cuántica, o gato, en efecto, está nese estado que é unha suma de ambos: vivo e morto. E non é ata que abrimos a caixa que, coa nosa observación, perturbamos ese estado e facémolo colapsar nunha das dúas posibilidades. A cuántica danos a probabilidade de que colapse nunha ou noutra. Pero o importante é entender que antes de facer a medición, é dicir, antes de abrir a caixa, o gato está a vez vivo e morto.

Dende logo outras interpretacións son posibles, como a teoría dos multiversos formulada por Hugh Everett, segundo a cal o que sucede e que o Universo se desdobra de maneira que o gato está vivo e morto pero en distintas realidades que non poden interactuar entre si. Tamén existen certas interpretacións de “variables ocultas” que consideran que o gato está vivo ou morto, só que nós non podemos acceder a unha descrición completa do sistema debido a algunha variable que se nos escapa. Estas ideas debaterémolas máis adiante, pois teñen suficiente interese como para merecer un artigo para elas mesmas.

Sexa cal sexa a interpretación correcta unha cousa é certa. Se lle facedes algo así ao voso gato asegúrovos que non vai chegar a vello.