Paradoxo sorites

Paradoxos. Sempre interesantes e curiosos. Chaman á reflexión e dannos unha nova perspectiva de cousas que tiñamos máis ou menos asumidas. O de hoxe destaca pola súa sinxeleza, pero pretendo con este artigo facer aos lectores reflexionar sobre a necesidade do rigor en ciencia. En seguida se comprenderá a que ven isto, pero primeiramente introduzamos a cuestión que nos ocupa.

Pensade nunha praia dunha idílica costa caribeña. O sol estase a poñer e a auga acaricia suavemente a area, conxurando todo isto para ofrecernos unha imaxe bucólica. Neste contexto a ciencia queda de lado. Esquecémonos do rigor e deixámonos levar pola tranquilidade que a estampa nos evoca. De feito a linguaxe empregada á hora de describir semellante cadro nunca será a mesma que para describir un experimento nun laboratorio. Esas tediosas disertacións que dan conta ata da última variable parecen aquí non ter sentido. Propoño agora que, sen irnos da praia da que estamos a falar, nos poñamos novamente a bata de laboratorio. Chamemos novamente ao rigor e analicemos de novo esta escena.

Adxectivos como “idílica” ou “bucólica” son imposibles de ponderar. Cando algo comeza a ser bucólico?, cando idílico? Resulta difícil falar en ciencia de conceptos subxectivos, debido a isto temos que ter moi claro en que contexto nos atopamos e aceptar as limitacións da ciencia para tratar certas “realidades”. A ciencia é, por natureza, obxectiva e, polo tanto, non podemos pretender que aborde determinados temas que, aínda que apaixonantes, non son sensibles dunha debida parametrización. Por outra banda, na ciencia os conceptos deben estar ben definidos. O que isto quere dicir tal vez se entenda mellor cun exemplo.

Na anterior descrición falamos dunha praia, pero como definiríamos praia? Tal vez poderíamos dicir que se trata dunha extensión de area ou pedra miúda, polo xeral plana, á beira do mar ou dun río, como di a Real Academia Galega. Pero o termo extensión de area a máis dun científico lle parecería pouco rigoroso. Cando podemos comezar a falar dunha extensión ou dun montón de area? Acaso un gran de area é un montón? Parece claro que non pero… tal vez dous? A resposta semella ser que tampouco. Se cadra dez millóns de grans xa sexan un montón? Agora probablemente debamos dicir que si. Ben, en que quedamos logo? A partir de que número de grans estamos ante un montón? Esta ambigüidade, en segundo que disciplinas científicas, é intolerable. Estamos ante o que se coñece como paradoxo sorites.

Este paradoxo pon de manifesto a insuficiencia da linguaxe cotián para establecer razoamentos lóxicos formais. Aparece cando empregamos o sentido común sobre conceptos non ben definidos. Por exemplo neste caso poderíamos chegar a unha contradición se empregamos a indución matemática. Examinemos as seguintes proposicións e veremos que o “sentido común” nos di que son todas certas:

1. Dous grans de area non son un montón.
2. Un millón de grans de area si son un montón.
3. Se n grans de area non son un montón entón n+1 tampouco.
4. Se n grans de area son un montón entón n-1 tamén.

Empregando a primeira proposición e a terceira deducimos que tres grans de area non son un montón. Se facemos isto un millón de veces chegamos á conclusión de que un millón de grans de area non son un montón, feito que se contradí coa segunda proposición. Así mesmo se facemos o proceso análogo coa segunda proposición e a cuarta, concluímos que un ou dous grans de area si son un montón, enunciado que está en clara contradición co primeiro.

A conclusión á que debemos chegar e que existen determinados contextos nos que a ciencia non nos serve e outro linguaxe é necesario, un linguaxe cotián, moito máis representativo da realidade pertinente. Aínda que o concepto de montón non estea estritamente ben definido, énos útil nun uso vulgar e todos entendemos de que estamos a falar. Pero se o que pretendemos é acadar verdades científicas ou conclusións rigorosas sobre conceptos físicos, a linguaxe da lóxica formal ou matemática fáisenos necesaria. Do contrario podemos chegar a erros como o que acabamos de ver. Con este artigo simplemente quería dar conta de como funcionan os razoamentos científicos, sobre todo en ciencias puras ou duras como a física e as matemáticas, e contrapoñelos á lóxica que usamos no día a día e que nos é útil aínda que non de todo rigorosa.

Advertisement

O gato de Schrödinger vive?

Seguro que máis dunha vez este popular gato chegou aos vosos oídos. Seguro que máis dunha vez vos dixeron que morreu e, da mesma maneira, seguro que as mesmas veces vos dixeron que non o fixo. Non podemos dicir aquí se o fixo ou non, porque o peculiar felino non é máis que un experimento mental proposto por Erwin Schrödinger, pero o que si que podemos é presentalo e traer con el o dilema que suscita.

Antes de comezar a falar deste animal, debemos facer un conciso resumo de certas implicacións da mecánica cuántica, posto que da mesma depende a súa vida. Esta teoría científica data de principios do século XX, momento de gran auxe para a física posto que se produce un brutal cambio do paradigma establecido. Ata o momento do nacemento da cuántica, o mundo era un lugar que a física dicía determinista. Isto quere dicir que todo estaba escrito; se coñecésemos tódalas variables posibles, saberíamos o destino de toda partícula do Universo, simplemente sería moi complexo de calcular.

Pero entón xorden certos fenómenos de difícil explicación mediante as disciplinas clásicas da física. O corpo negro é un punto de inflexión. Un obxecto, ao cal lle adicaremos outra entrada, que absorbe toda a enerxía radiante que sobre el incide sen reflectir nada, ata que el mesmo se torna en emisor, algo así como cando quentamos un ferro o suficiente e comeza a emitir luz. Segundo a física do momento, a enerxía emitida por este obxecto era infinita, feito que non se corresponde coa experiencia no máis mínimo. Pero entón chega Planck e cuantiza a enerxía. Simplemente empregando o suposto de que a enerxía emitida polo corpo negro non pode tomar calquera valor, obtén unha curva de emisión que se adecúa a realidade case perfectamente. Aquí o mundo cambiou. Xa nada sería igual.

Digamos simplemente que dende ese momento se suceden unha serie de feitos que, tomando como base a hipótese de Planck, dan explicación a uns fenómenos inexplicables. Da evolución da cuántica teremos tempo de falar en futuras entradas. Este proceso culmina cunha nova teoría. Unha teoría onde nada é o que parece. Un Universo non determinista. Pois ben, Unha vez madura a teoría cuántica, chegamos a unha mecánica ondulatoria desenvolta por Schrödinger. Baixo este novo paradigma non determinista, as partículas poden comportarse a veces como corpúsculos e a veces como ondas, de maneira que non teñen propiedades ben definidas. Para imaxinarnos isto pensemos por exemplo na posición. Cal é a posición dunha onda? É un concepto que carece de sentido. Neste contexto, a onda asociada a cada partícula representa, en cada punto, a probabilidade de atopala ao medir. Os estados das partículas parecen non estar ben definidos.

Case parece que a cuántica a inventase un galego.

Pero non nos desviemos do tema. Gatos! De gatos ía a cousa, pero como encaixan os gatos neste novo enfoque da física? Ben, non dilatemos máis a explicación. Acabamos de dicir que baixo a perspectiva da cuántica non podemos coñecer exactamente as propiedades dunha partícula. Este feito suscita varias interpretacións. É o Universo determinista pero nos non podemos acceder a toda a información? A probabilidade descrita pola cuántica é toda a información física dispoñible? Aínda a día de hoxe non hai consenso nestas cuestións, pero unha interpretación foi, e segue sendo, a máis aceptada. A interpretación de Copenhaguen Para explicar esta contraintuitiva forma de entender a cuántica, Schrödinger recorreu no ano 1935 ao seu famoso gato.

Para entender esta idea fagamos o seguinte experimento mental. Podémolo facer na práctica, pero se lle tedes un mínimo de cariño ao voso gato non volo recomendo. Imaxinemos unha caixa e metamos dentro dela ao gato. Introduzamos así mesmo un frasco ben cerrado dun potente veleno. Agora entra a cuántica en acción. O último ingrediente é unha partícula radioactiva cunha probabilidade do 50% de desintegrarse. Debemos colocar, ademais, o frasco de veleno nun dispositivo que reaccione ante a desintegración da partícula de maneira que se esta se desintegra, o frasco se rompa e mate ao gato.

Temos, pois, unha probabilidade do 50% de que ao abrir a caixa a partícula se desintegrase e o gato este con Schrödinger. Pois ben, en base a interpretación de Copenhaguen, a situación do gato non está ben definida. A partícula está nun estado que é a superposición da realidade na que se desintegrou, e aquela na que non o fixo. Isto implica que o gato está nun estado que é a superposición dos estados “vivo” e “morto” na mesma medida.

Entón que pasa co gato? Como pode estar vivo e morto ao mesmo tempo? Se seguimos esta interpretación da cuántica, o gato, en efecto, está nese estado que é unha suma de ambos: vivo e morto. E non é ata que abrimos a caixa que, coa nosa observación, perturbamos ese estado e facémolo colapsar nunha das dúas posibilidades. A cuántica danos a probabilidade de que colapse nunha ou noutra. Pero o importante é entender que antes de facer a medición, é dicir, antes de abrir a caixa, o gato está a vez vivo e morto.

Dende logo outras interpretacións son posibles, como a teoría dos multiversos formulada por Hugh Everett, segundo a cal o que sucede e que o Universo se desdobra de maneira que o gato está vivo e morto pero en distintas realidades que non poden interactuar entre si. Tamén existen certas interpretacións de “variables ocultas” que consideran que o gato está vivo ou morto, só que nós non podemos acceder a unha descrición completa do sistema debido a algunha variable que se nos escapa. Estas ideas debaterémolas máis adiante, pois teñen suficiente interese como para merecer un artigo para elas mesmas.

Sexa cal sexa a interpretación correcta unha cousa é certa. Se lle facedes algo así ao voso gato asegúrovos que non vai chegar a vello.

Paradoxo de Olbers

Se o Universo é infinito entón, por que o ceo nocturno non é completamente brillante?

Esta pregunta cobrará sentido deseguido. Supoñamos un universo infinito. Supoñamos, así mesmo, que a densidade de estrelas é unha constante, de maneira que o número de estrelas é igualmente infinito, e a súa distribución é practicamente uniforme. Outra suposición se nos fai necesaria, o Universo ha de ser estático, é dicir, ten que ser un lenzo imperturbable no que se debuxa a existencia.

Con todo isto na cabeza, situémonos nun lugar do noso orbe no que, debido a fermosa danza que o planeta executa en torno ao seu eixo, sexa de noite. Que pasará se trazamos unha liña recta en calquera dirección do ceo nocturno? Pois ben, en base aos supostos propostos, esa liña recta acabaría por atopar nalgún momento unha estrela.

Esta afirmación cumprirase para tódalas posibles direccións nas que apuntemos co noso particular bastón de cego cosmolóxico. Desta maneira, podemos afirmar que tódalas direccións posibles son un bo camiño para chegar a unha estrela, se non nos importa a cal chegar nin o tempo que tardemos.

Concluímos por tanto que miremos onde miremos temos que ver unha estrela?

Baixo estes supostos parece que si. Pero, implicaría isto un ceo brillante en toda a súa extensión? Un podería argumentar que a luz das estrelas moi distantes se vai dispersando coa distancia de maneira que perde intensidade e chega un punto en que non a vemos. Lamento dicir que esta solución non é satisfactoria. Aínda que a luz se disperse, nos non lle pedimos a esa estrela que nos ilumine nas noites de inverno nin nos sirva para atopar o norte. Case que nin lle pedimos que se vexa. O único que é necesario que esa estrela faga para manter vivo o paradoxo é que supoña un punto luminoso infinitesimalmente pequeno no ceo.

Poñamos un exemplo disto para poder entendelo. Se afastamos o sol ata que estea ao dobre de distancia de nós, o número de fotóns que recibimos será un cuarto do que recibíamos antes. Isto débese a que os fotóns se distribúen radialmente de maneira homoxénea e a área da esfera vai coa inversa do radio ao cadrado. Pero, ao mesmo tempo, a área angular do Sol sobre o ceo tamén diminuíu a un cuarto do seu tamaño. Desta maneira a intensidade por unidade de área permanece constante, é dicir, a cantidade de fotóns por unidade de área de Sol proxectada sobre o ceo, non depende da distancia a que este se atopa.

Agora vemos máis claro que, aínda que afastemos moitísimo unha estrela, a cantidade de luz que nos chega da súa proxección sobre o ceo é a mesma que nos chegaría se estivese moi cerca, dende esa mesma porción de ceo. Posto que, como vimos antes, en tódalas direccións se acaba atopando unha estrela, concluímos que o ceo debería estar sempre iluminado. Un faro constante que abrasaría toda a vida na Terra. Non hai que ser un físico experimental de gran calado para decatarse de que isto non sucede. Esta contradición é o que constitúe o paradoxo de Olbers.

Que é o que acontece entón?

Varias solucións foron consideradas. A continuación veremos algunhas delas.

Unha das propostas para dirimir esta cuestión foi argumentar que hai demasiado po estelar como para poder ver as estrelas moi distantes. Esta idea basease no suposto de que o po serve como escudo ante a luz que nos habería de chegar dun gran número de estrelas. A realidade é ben distinta. 

O po estelar, ao atoparse no espazo baleiro, comportaríase coma un corpo negro. Así, iría absorbendo enerxía das estrelas ata que se quentase tanto que el mesmo se convertese en emisor.

Por outra banda está a solución que propón que o número de estrelas no Universo pode non ser infinito. Isto tal vez sexa certo, pero o número de estrelas, aínda que finito, é o suficientemente grande como para producir o efecto do que estamos a falar. Así que nada, outra idea que se nos vai.

Tamén podería acontecer que a distribución de estrelas non sexa uniforme, de maneira que se tapen unhas a outras. Desta forma damos pé a que existan zonas escuras no ceo nocturno. Esta hipótese pode estar no certo. Simplemente o descoñecemos.

Xa fartos como estamos de solucións que non solucionan, ou que non podemos corroborar, tornemos a nosa vista cara aquelas que si o fan. Primeiramente está o feito de que o Universo se está a expandir de xeito acelerado, para desgracia de moitos teóricos que non lle atopan explicación a este feito. Ventilamos dun plumazo a hipótese de Universo estático.

A partires de certa distancia, a velocidade coa que se separa de nós unha estrela pode superar a da luz, non porque esta se mova a esa velocidade, o cal é imposible, senón porque entre a súa posición e a nosa se está a crear espazo. Así as estrelas moi distantes non son visibles porque, sinxelamente, a súa luz non chega nunca a nós. Ademais o Universo non é infinitamente vello, senón que ten unha idade 13,8 mil millóns de anos, aproximadamente. Ao non ter unha idade infinita, pode suceder que a luz de estrelas moi distantes aínda non tivese tempo de chegar a nós.